Mathematik leicht gemacht (PDF)

von: Hans Kreul, Harald Ziebarth

Verlag Europa-Lehrmittel, 2016

ISBN: 9783808558300

Sprache: Deutsch

897 Seiten, Download: 8355 KB

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Mathematik leicht gemacht (PDF)

	Vorwort zur 8. Auflage	4
	Inhaltsverzeichnis	6
	Hinweise zur Benutzung des Buches	18
	1 Zur Technik des Zahlenrechnens	26
	1.1 Der Zahlbegriff	26
	1.1.1 Die natürlichen Zahlen	26
	1.1.2 Das dekadische Positionssystem	28
	1.1.3 Das duale Positionssystem	30
	1.1.4 Das römische Zahlensystem	35
	1.1.5 Konstante und Variable	37
	1.2 Das Rechnen mit Zahlen	40
	1.2.1 Bezeichnungen	40
	1.2.2 Die Teilbarkeit von Zahlen	41
	1.2.2.1 Teiler einer Zahl	41
	1.2.2.2 Teilbarkeitsregeln	42
	1.2.2.3 Primzahlen	45
	1.2.2.4 Der größte gemeinsame Teiler	47
	1.2.2.5 Das kleinste gemeinsame Vielfache	50
	1.2.3 Gewöhnliche Brüche	51
	1.2.3.1 Begriffserklärungen	51
	1.2.3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen	53
	1.2.3.3 Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche	54
	1.2.3.4 Multiplikation von Brüchen	56
	1.2.3.5 Der Kehrwert eines Bruches	57
	1.2.3.6 Division von Brüchen	58
	1.2.3.7 Doppelbrüche	59
	1.2.3.8 Zusammenfassung Bruchrechnung	61
	1.2.4 Dezimalbrüche	62
	1.2.4.1 Begriffserklärungen	62
	1.2.4.2 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen	64
	1.2.4.3 Multiplikation von Dezimalbrüchen	64
	1.2.4.4 Division von Dezimalbrüchen	65
	1.2.4.5 Umwandlung von Brüchen	67
	1.2.4.6 Das Runden von Dezimalbrüchen	71
	1.2.4.7 Bruch oder Dezimalzahl?	73
	1.2.4.8 Größenvergleich von Brüchen	74
	1.3 Rechenhilfsmittel	87
	1.3.1 Taschenrechner	87
	1.3.1.1 Grundrechenarten	89
	1.3.1.2 Eingeben, Editieren, Löschen	90
	1.3.1.3 Werte abspeichern	92
	1.3.1.4 Terme berechnen	94
	1.3.1.5 Funktionentasten	98
	1.3.1.6 Verschiedene Arbeitsmodi	102
	1.3.1.7 Kaufkriterien für einen Taschenrechner	102
	1.3.2 Tabellenkalkulation	103
	1.3.2.1 Kurze Einführung in Excel	103
	1.3.2.2 Mathematik mit Excel	105
	1.3.3 Computeralgebrasystem	105
	1.3.3.1 Anwendungen für Derive	106
	1.3.4 Funktionenplotter	106
	2 Arithmetik	110
	2.1 Die Rolle der Sprache in der Mathematik	110
	2.1.1 Allgemeine Bemerkungen	110
	2.1.2 Aussagen und Aussageformen	110
	2.1.3 Verknüpfung von Aussagen	112
	2.1.3.1 Einführendes Beispiel	112
	2.1.3.2 Die Konjunktion	113
	2.1.3.3 Die Disjunktion	114
	2.1.3.4 Die Implikation	116
	2.1.3.5 Die Äquivalenz	118
	2.2 Grundbegriffe der Mengenlehre	121
	2.2.1 Der Begriff der Menge	121
	2.2.2 Zahlenmengen	123
	2.2.3 Die Beschreibung von Mengen	124
	2.2.3.1 Mengenschreibweise	125
	2.2.3.2 Intervallschreibweise	128
	2.2.4 Mengenrelationen	129
	2.2.4.1 Teilmengen	129
	2.2.4.2 Gleichheit zweier Mengen	130
	2.2.5 Mengenoperationen	131
	2.2.5.1 Vereinigung von Mengen	131
	2.2.5.2 Durchschnitt von Mengen	133
	2.2.5.3 Differenz zweier Mengen	136
	2.3 Das Rechnen mit Variablen	140
	2.3.1 Die vier Grundrechenoperationen	140
	2.3.1.1 Einfache Rechenoperationen mit Variablen	140
	2.3.1.2 Die negativen Zahlen	144
	2.3.1.3 Addition und Subtraktion	147
	2.3.1.4 Multiplikation	152
	2.3.1.5 Division	154
	2.3.2 Das Rechnen mit algebraischen Summen	156
	2.3.2.1 Über die Bedeutung der Klammern	156
	2.3.2.2 Setzen und Auflösen additiver und subtraktiver Klammern	157
	2.3.2.3 Multiplikation von Klammerausdrücken	159
	2.3.2.4 Ausklammern gemeinsamer Faktoren	163
	2.3.2.5 Binomische Formeln	165
	2.3.2.6 Die Quadratische Ergänzung	168
	2.3.3 Bruchrechnung	170
	2.3.3.1 Erweitern und Kürzen von Brüchen	171
	2.3.3.2 Addition und Subtraktion von Brüchen	172
	2.3.3.3 Multiplikation und Division von Brüchen	174
	2.3.3.4 Doppelbrüche	176
	2.4 Potenzrechnung	194
	2.4.1 Begriffserklärungen	194
	2.4.2 Potenzgesetze	198
	2.4.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen	198
	2.4.2.2 Multiplikation von Potenzen	198
	2.4.2.3 Division von Potenzen	199
	2.4.2.4 Potenzieren einer Potenz	201
	2.4.2.5 Klammergesetze	202
	2.4.3 Erste Erweiterung des Potenzbegriffs	204
	2.4.4 Potenzen von Binomen	208
	2.4.5 Polynomdivision	211
	2.4.6 Ausklammern für Fortgeschrittene	216
	2.4.7 Anwendungen der Potenzen	218
	2.4.7.1 Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen	218
	2.4.7.2 Schreibweise von Maßeinheiten	219
	2.4.8 Übersicht der Potenzgesetze	221
	2.5 Wurzelrechnung	230
	2.5.1 Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens	230
	2.5.1.1 Der Wurzelbegriff	230
	2.5.1.2 Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen	234
	2.5.1.3 Die Berechnung von Wurzelwerten	236
	2.5.2 Die reellen Zahlen	237
	2.5.3 Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs	240
	2.5.4 Wurzelgesetze	242
	2.5.4.1 Addition und Subtraktion von Wurzeln	242
	2.5.4.2 Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten	243
	2.5.4.3 Teilradizieren	244
	2.5.4.4 Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten	246
	2.5.4.5 Rationalmachen des Nenners	247
	2.5.4.6 Radizieren von Potenzen und Wurzeln	250
	2.5.4.7 Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten	251
	2.5.4.8 Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze	252
	2.6 Logarithmenrechnung	260
	2.6.1 Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens	260
	2.6.1.1 Der Logarithmusbegriff	260
	2.6.1.2 Logarithmengesetze	263
	2.6.2 Spezielle Logarithmensysteme	266
	2.6.2.1 Die dekadischen Logarithmen	266
	2.6.2.2 Die natürlichen Logarithmen	268
	2.6.2.3 Die dualen Logarithmen	269
	2.6.2.4 Weitere Logarithmensysteme	269
	2.6.3 Zusammenfassung	271
	3 Algebra	278
	3.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen	278
	3.1.1 Vorbemerkungen und Begriffserklärungen	278
	3.1.1.1 Definitionsbereich	278
	3.1.1.2 Gleichungen	281
	3.1.1.3 Ungleichungen	284
	3.1.2 Umformung von Gleichungen	285
	3.1.2.1 Äquivalente Umformung von Gleichungen	285
	3.1.2.2 Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen	287
	3.1.2.3 Elektronische Hilfsmittel beim Lösen von Gleichungen	290
	3.1.3 Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen	292
	3.1.3.1 Begriffserklärungen	292
	3.1.3.2 Einfache lineare Gleichungen	293
	3.1.3.3 Nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen	295
	3.1.3.4 Gleichungen mit Parametern	297
	3.1.3.5 Gleichungen mit Klammerausdrücken	298
	3.1.3.6 Bruchgleichungen	300
	3.1.3.7 Wurzelgleichungen	303
	3.1.3.8 Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich	306
	3.1.3.9 Das Umstellen von Formeln	307
	3.1.3.10 Anwendungen	308
	3.1.3.11 Schlussbemerkungen	315
	3.1.4 Das Rechnen mit Ungleichungen	315
	3.1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen	320
	3.2 Proportionen	330
	3.2.1 Begriffserklärungen	330
	3.2.2 Rechengesetze für Proportionen	331
	3.2.3 Fortlaufende Proportionen	333
	3.2.4 Direkte Proportionalität	334
	3.2.5 Indirekte Proportionalität	335
	3.2.6 Proportionen als Gleichungen	337
	3.3 Prozentrechnung	340
	3.3.1 Grundbegriffe	340
	3.3.2 Berechnung des Prozentsatzes	341
	3.3.3 Berechnung des Prozentwertes	342
	3.3.4 Berechnung des Grundwertes	343
	3.3.5 Verminderter oder vermehrter Grundwert	344
	3.3.6 Promillerechnung	348
	3.3.7 Zinsrechnung	349
	3.3.8 Zinseszinsrechnung	351
	3.4 Lineare Gleichungssysteme	357
	3.4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen	357
	3.4.2 Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen	359
	3.4.2.1 Das Einsetzungsverfahren	359
	3.4.2.2 Das Gleichsetzungsverfahren	360
	3.4.2.3 Das Additionsverfahren	361
	3.4.2.4 Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren	362
	3.4.2.5 Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen	362
	3.4.2.6 Schwierigere Gleichungssysteme	365
	3.4.3 LGS mit drei und mehr Variablen	369
	3.4.3.1 Begriffserklärungen	369
	3.4.3.2 Lösungsverfahren für LGS mit drei und mehr Variablen	370
	3.4.4 LGS mit elektronischen Hilfsmitteln lösen	378
	3.4.4.1 Taschenrechner	378
	3.4.4.2 CAS	378
	3.5 Quadratische Gleichungen	386
	3.5.1 Begriffserklärungen	386
	3.5.2 Spezielle Formen der quadratischen Gleichung	389
	3.5.2.1 Die reinquadratische Gleichung	389
	3.5.2.2 Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied	392
	3.5.3 Die Normalform der quadratischen Gleichung	393
	3.5.3.1 Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen	393
	3.5.3.2 Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung	398
	3.5.4 Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung	401
	3.5.4.1 Die Diskriminante	401
	3.5.4.2 Der Wurzelsatz von Vieta	402
	3.5.4.3 Die Produktform quadratischer Terme – Faktorisieren für Profis	403
	3.5.5 Quadratische oder höhere Ungleichungen	405
	3.5.6 Wurzelgleichungen, Teil 2	408
	3.5.7 Quadratische Gleichungssysteme	409
	3.5.8 Biquadratische Gleichungen	410
	3.6 Polynomgleichungen	422
	3.6.1 Gleichungen ohne Absolutglied	425
	3.6.2 Kubische Gleichungen	426
	3.6.2.1 Kubische Gleichungen mit Absolutglied	426
	3.6.2.2 Methode des gezielten Ratens	428
	3.6.2.3 Der Einfluss des Leitkoeffizienten	431
	3.6.3 Höhere Polynomgleichungen	433
	3.6.4 Übersicht	435
	3.7 Exponentialgleichungen	438
	3.7.1 Lösen einer Exponentialgleichung durch Exponentenvergleich	438
	3.7.2 Lösen einer Exponentialgleichung durch Logarithmieren	439
	3.7.3 Lösen einer Exponentialgleichung durch Substitution	445
	3.7.4 Nicht elementar lösbare Exponentialgleichungen	447
	3.8 Logarithmische Gleichungen	451
	3.8.1 Lösen durch Vergleich der Numeri	451
	3.8.2 Lösen durch Exponieren	452
	3.8.3 Besondere logarithmische Gleichungen	454
	3.8.3.1 Substitutionsmethode	454
	3.8.3.2 Lösen durch Basiswechsel	455
	3.8.3.3 Lösungsvariable in der Basis	456
	3.8.4 Nicht elementar lösbare Logarithmusgleichungen	457
	4 Funktionen	460
	4.1 Begriffsbestimmungen	460
	4.1.1 Der Begriff der Abbildung	460
	4.1.2 Der Begriff der Funktion	462
	4.2 Arten der Darstellung von Funktionen	465
	4.2.1 Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare	465
	4.2.2 Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle	466
	4.2.3 Darstellung einer Funktion durch Zuordnungsgraphen	466
	4.2.4 Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der Zuordnungsvorschrift	467
	4.2.5 Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen	468
	4.2.6 Darstellung einer Funktion durch eine Kurve	469
	4.2.6.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem	469
	4.2.6.2 Darstellung von Funktionen in Form von Graphen	472
	4.2.6.3 Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als Kurven gegeben sind	474
	4.2.6.4 Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und der zugehörigen Kurve	478
	4.2.6.5 Schnittpunkt zweier Kurven	480
	4.3 Wichtige Eigenschaften von Funktionen	484
	4.3.1 Monotonie	484
	4.3.2 Stetigkeit	485
	4.3.3 Gerade Funktionen	486
	4.3.4 Ungerade Funktionen	487
	4.3.5 Schnittpunkte mit den Achsen	488
	4.4 Lineare Funktionen	491
	4.4.1 Vorbemerkungen	491
	4.4.2 Begriffserklärungen	492
	4.4.3 Die Funktion y = mx	493
	4.4.4 Die Funktion y = mx + b	496
	4.4.5 Grafische Darstellung der linearen Funktion	499
	4.4.6 Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen	500
	4.5 Quadratische Funktionen	505
	4.5.1 Begriffserklärungen	505
	4.5.2 Die quadratische Funktion y = x2	505
	4.5.3 Die quadratische Funktion y = x2 + q	507
	4.5.4 Die quadratische Funktion y = x2 + px + q	507
	4.5.5 Die allgemeine quadratische Funktion y = ax2 + bx + c	511
	4.5.6 Modellieren quadratischer Funktionen	514
	4.5.7 Parabel und Gerade	516
	4.5.8 Grafische Lösung quadratischer Gleichungen	518
	4.6 Potenzfunktionen	523
	4.6.1 y = xn mit ganzzahligem positivem Exponenten	523
	4.6.2 Die Potenzfunktion y = x0	526
	4.6.3 y = x-n mit ganzzahligem negativem Exponenten	526
	4.6.4 y = xn mit gebrochenem Wert des Exponenten n	529
	4.7 Wichtige transzendente Funktionen	530
	4.7.1 Die Exponentialfunktionen	530
	4.7.2 Die logarithmischen Funktionen	532
	5 Planimetrie	536
	5.1 Grundbegriffe der Geometrie	536
	5.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln	539
	5.2.1 Parallele Geraden	539
	5.2.2 Schnitt zweier Geraden	539
	5.2.3 Winkel an Parallelen	540
	5.3 Symmetrie	541
	5.3.1 Axiale Symmetrie	541
	5.3.2 Zentrale Symmetrie	542
	5.3.3 Geometrische Grundkonstruktionen	543
	5.3.4 Punktmengen	545
	5.4 Das Dreieck	547
	5.4.1 Allgemeines Dreieck	547
	5.4.2 Spezielle Dreiecke	549
	5.4.3 Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte	550
	5.5 Das Viereck	554
	5.5.1 Allgemeines Viereck	554
	5.5.2 Spezielle Vierecke	554
	5.6 Das Vieleck	557
	5.6.1 Unregelmäßiges Vieleck	557
	5.6.2 Regelmäßige Vielecke	558
	5.7 Kongruenz	558
	5.7.1 Was ist Kongruenz?	558
	5.7.2 Kongruenz von Dreiecken	559
	5.8 Ähnlichkeit	562
	5.8.1 Ähnlichkeit im Allgemeinen	562
	5.8.2 Ähnlichkeit von Dreiecken	562
	5.8.3 Strahlensätze	564
	5.9 Das rechtwinklige Dreieck	570
	5.10 Strecken und Winkel am Kreis	579
	5.10.1 Kreis und Gerade	579
	5.10.2 Winkel am Kreis	582
	5.10.3 Ähnlichkeit am Kreis	584
	5.10.4 Der Goldene Schnitt	586
	5.11 Berechnung von Flächen und Umfängen	590
	5.11.1 Vierecke	590
	5.11.2 Dreiecke	592
	5.11.3 Unregelmäßige Vielecke	593
	5.11.4 Regelmäßige Vielecke	594
	5.11.5 Kreis und Kreisteile	596
	5.11.6 Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Flächen	601
	6 Goniometrie	620
	6.1 Das Bogenmaß	620
	6.2 Winkelfunktionen	622
	6.2.1 Definition der Winkelfunktionen	622
	6.2.2 Kurvenbilder der Winkelfunktionen	625
	6.2.3 Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen	629
	6.2.4 Die Umkehrung der Winkelfunktionen	632
	6.2.5 Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen	636
	6.3 Trigonometrie	639
	6.3.1 Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck	640
	6.3.2 Sätze über beliebige Dreiecke	646
	6.3.2.1 Der Sinussatz	646
	6.3.2.2 Die Flächenformel für Dreiecke	648
	6.3.2.3 Der Kosinussatz	648
	6.3.3 Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke	649
	6.4 Additionstheoreme	657
	6.5 Goniometrische Gleichungen	662
	7 Stereometrie	668
	7.1 Einteilung der Körper	668
	7.1.1 Ebenflächner	668
	7.1.2 Krummflächner	671
	7.2 Darstellung von Körpern	675
	7.2.1 Mehrtafelprojektion	675
	7.2.2 Axonometrische Projektion	676
	7.2.2.1 Isometrische Projektion	676
	7.2.2.2 Dimetrische Projektion	678
	7.3 Körperberechnung	679
	7.3.1 Berechnungsgrundlagen	679
	7.3.2 Ebenflächner	679
	7.3.2.1 Quader und Würfel	679
	7.3.2.2 Gerades Prisma	684
	7.3.2.3 Satz des Cavalieri	688
	7.3.2.4 Pyramide	690
	7.3.2.5 Pyramidenstumpf	694
	7.3.3 Krummflächner	698
	7.3.3.1 Kreiszylinder	698
	7.3.3.2 Kegel	707
	7.3.3.3 Kegelstumpf	711
	7.3.3.4 Kugel und Kugelteile	717
	7.3.4 Die Guldin'schen Regeln	735
	Anhang – Mathematische Zeichen	744
	Anhang – Mathematische Begriffe	752
	Lösungen	784
	Sachwortverzeichnis	886

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