Kapitel 1

Das Spiel mit den Zahlen

In diesem Kapitel

Zahlen sind auch deshalb so praktisch, weil sie konzeptuell sind, das heißt ganz einfach, sie sind alle bereits vorhanden in Ihrem Kopf. (Diese Tatsache wird Sie vielleicht noch nicht vom Hocker reißen – aber es war ein Versuch!)

Beispielsweise können Sie sich »Drei« mit allen möglichen Dingen vorstellen: drei Katzen, drei Bälle, drei Kannibalen, drei Planeten. Versuchen Sie, sich das Konzept von »Drei« ohne Hilfsmittel vorzustellen – Sie werden feststellen, dass das unmöglich ist. Natürlich können Sie sich die numerische 3 vorstellen, doch die eigentliche Dreiheit ist – wie Liebe oder Schönheit oder Ehre – nicht direkt fassbar. Aber nachdem Sie das Konzept der Drei (oder Vier oder einer Million) verstanden haben, erhalten Sie damit Zugang zu einem unglaublich leistungsfähigen System, das Ihnen hilft, die gesamte Welt zu verstehen: die Mathematik.

In diesem Kapitel präsentiere ich Ihnen einen kurzen Überblick darüber, wie die Zahlen entstanden sind. Ich stelle Ihnen ein paar gebräuchliche Zahlenfolgen vor und zeige Ihnen, wie Sie diese mit einfachen mathematischen Operationen verbinden, wie etwa Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Anschließend erkläre ich, wie einige dieser Konzepte anhand eines einfachen und doch leistungsfähigen Werkzeugs verdeutlicht werden können – mit dem Zahlenstrahl. Ich demonstriere, wie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl angeordnet sind, und zeige Ihnen, wie Sie den Zahlenstrahl als Rechengerät für die einfache Arithmetik nutzen können.

Zum Schluss beschreibe ich, wie die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, …) die Erfindung ungewöhnlicherer Zahlentypen ausgelöst haben, wie etwa negative Zahlen, Brüche und irrationale Zahlen. Außerdem zeige ich Ihnen, wie diese Zahlenmengen ineinander verschachtelt sind – das heißt, wie sich eine Zahlenmenge in eine andere einfügt, die sich wiederum in eine andere einfügt.

Die Erfindung der Zahlen

Historiker sind davon überzeugt, dass die ersten Zahlensysteme gleichzeitig mit der Landwirtschaft und dem Handel entstanden sind. In den vorhergehenden prähistorischen Zeiten der Jäger und Sammler war es für die Menschen ausreichend, die ungefähre Größe von ganzen Gruppen zu identifizieren, wie beispielsweise »viele« oder »wenige«.

Als sich jedoch die Landwirtschaft entwickelte und der Handel zwischen einzelnen Gruppen begann, benötigte man genauere Angaben. Die Menschen begannen, mithilfe von Steinen, Lehmbatzen und vergleichbaren Gegenständen festzuhalten, wie viele Ziegen, Schafe, Öl, Getreide oder andere Waren sie besaßen. Diese Gegenstände konnten in Vertretung für die Dinge, die sie jeweils darstellten, eins zu eins getauscht werden.

Irgendwann erkannten die Händler, dass sie Bilder zeichnen konnten, anstatt Gegenstände verwenden zu müssen. Diese Bilder entwickelten sich zu Warenetiketten und mit der Zeit zu komplexeren Systemen. Ob sie es damals schon erkannten oder nicht – ihre Versuche, einen Überblick über ihre Waren zu bewahren, hatten diese Menschen zur Erfindung von etwas völlig Neuem geführt: Zahlen.

Im Laufe der Zeitalter entwickelten die Babylonier, die Ägypter, die Griechen, die Römer, die Mayas, die Araber und die Chinesen (um nur ein paar wenige zu nennen) alle ihre eigenen Systeme, Zahlen zu schreiben.

Obwohl römische Zahlen weit verbreitet wurden, als sich das Römische Reich über ganz Europa und in Teilen von Asien und Afrika ausdehnte, stellte sich das fortschrittlichere System, das die Araber erfanden, als praktischer heraus. Unser eigenes Zahlensystem, die hindu‐arabischen Zahlen (auch als Dezimalzahlen bezeichnet), lehnt sich sehr eng an diese frühen arabischen Zahlen an.

Zahlenfolgen verstehen

Obwohl die Zahlen ursprünglich zum Zählen von Waren erfunden worden sind, wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, wurden sie bald für alle möglichen anderen Dinge benutzt. Zahlen waren praktisch, um Distanzen zu messen, Geld zu zählen, eine Armee zusammenzustellen, Steuern zu erheben, Pyramiden zu bauen und für vieles andere mehr.

Aber über ihre vielen Verwendungszwecke hinaus, die externe Welt zu verstehen, haben die Zahlen auch eine eigene interne Ordnung. Zahlen sind also nicht nur eine Erfindung, sondern gleichzeitig eine Entdeckung: Wir erkennen darin eine Landschaft, die scheinbar unabhängig von allem anderen existiert, mit eigener Struktur, eigenen Geheimnissen und sogar Gefahren.

Ein Weg in diese neue und häufig fremdartige Welt ist die Zahlenfolge: eine Anordnung von Zahlen gemäß einer bestimmten Regel. In den folgenden Abschnitten stelle ich Ihnen viele verschiedene Zahlenfolgen vor, die praktisch sind, um den Zahlen einen Sinn zu geben.

Ungerade gerade machen

Zu den ersten Dingen, die Sie über Zahlen erfahren haben, gehört wahrscheinlich, dass alle Zahlen entweder gerade oder ungerade sind. Beispielsweise können Sie eine gerade Anzahl Murmeln gerade in zwei gleiche Stapel teilen. Wenn Sie dagegen versuchen, eine ungerade Anzahl von Murmeln auf dieselbe Weise zu teilen, haben Sie immer eine Murmel übrig. Hier die ersten geraden Zahlen:

2 4 6 8 10 12 14 16 …

Sie können diese Folge gerader Zahlen beliebig fortsetzen. Sie beginnen mit der Zahl 2 und addieren dann immer wieder 2, um zur nächsten Zahl zu gelangen.

Und hier die ersten ungeraden Zahlen:

1 3 5 7 9 11 13 15 …

Die Folge ungerader Zahlen ist genauso einfach zu erstellen. Sie beginnen mit der Zahl 1 und addieren dann immer wieder 2, um zur nächsten Zahl zu gelangen.

Die Muster der geraden und ungeraden Zahlen sind die einfachsten Zahlenmuster, die es gibt, deshalb erkennen Kinder häufig den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen schon bald, nachdem sie gelernt haben zu zählen.

Um 3, 4, 5 und so weiter weiterzählen

Nachdem Sie verstanden haben, wie man um Zahlen größer 1 weiterzählt, können Sie das beliebig fortsetzen. Hier zählen wir um 3 weiter:

3 6 9 12 15 18 21 24 …

Dieses Muster wird erzeugt, indem Sie bei 3 beginnen und dann immer wieder 3 addieren.

Und so zählen Sie um 4 weiter:

4 8 12 16 20 24 28 32 …

Und so um 5:

5 10 15 20 25 30 35 40 …

Diese Folgentypen sind außerdem praktisch, um Faktoren und Vielfache zu verstehen, worum es in Kapitel 8 geht.

Quadratzahlen verstehen

Wenn Sie sich mit Mathematik beschäftigen, wünschen Sie sich früher oder später visuelle Hilfen, die verdeutlichen, was die Zahlen bedeuten. (Weiter hinten in diesem Buch zeige ich Ihnen, wie ein Bild mehr als tausend Zahlen sagt, nämlich wenn es in Kapitel 16 um Geometrie und in Kapitel 17 um Graphen geht.)

Die praktischsten visuellen Hilfen, die man sich vorstellen kann, sind diese kleinen quadratischen Käsecracker. (Wahrscheinlich haben Sie irgendwo eine Schachtel davon stehen. Andernfalls können Sie auch Salzcracker oder ein anderes quadratisches Nahrungsmittel verwenden.) Schütteln Sie ein paar aus der Packung und ordnen Sie die kleinen Quadrate so an, dass sie größere Quadrate bilden. Abbildung 1.1 zeigt die ersten paar dieser Quadrate.

Voilà! Die Quadratzahlen:

1 4 9 16 25 36 49 64 …

Quadratzahlen sind außerdem ein wichtiger erster Schritt zum Verständnis der Exponenten, wie ich weiter hinten in diesem Kapitel noch anspreche und detailliert in Kapitel 4 erkläre.

Zusammengesetzte Zahlen – ganz einfach

Einige Zahlen können in rechteckigen Mustern angeordnet werden. Die Mathematiker könnten diese Zahlen auch als »Rechteckzahlen« bezeichnen, aber stattdessen sprechen sie von zusammengesetzten Zahlen. Beispielsweise ist 12 eine zusammengesetzte Zahl, weil Sie zwölf Gegenstände in Rechtecken zweier unterschiedlicher Formen anordnen können, wie in Abbildung 1.2 gezeigt.

Wie bei den Quadratzahlen teilt Ihnen die Anordnung von Zahlen in visuellen Mustern wie diesen etwas über die Multiplikation mit. In diesem Fall können Sie durch Zählen der Seiten beider Rechtecke Folgendes feststellen:

3 ⋅ 4 = 12

2 ⋅ 6 = 12

Auf vergleichbare Weise können auch andere Zahlen wie etwa 8 und 15 in Rechtecken angeordnet werden, wie in Abbildung 1.3 gezeigt.

Wie Sie sehen, können beide Zahlen relativ einfach in Rechtecken mit mindestens zwei Zeilen und zwei Spalten angeordnet werden. Und diese visuellen Muster teilen uns Folgendes mit:

2 ⋅ 4 = 8

3 ⋅ 5 = 15

Das Wort zusammengesetzt bedeutet, dass diese Zahlen aus kleineren Zahlen zusammengesetzt sind. Beispielsweise ist die Zahl 15 aus 3 und 5 zusammengesetzt – das heißt, wenn Sie diese beiden kleineren Zahlen multiplizieren, erhalten Sie 15. Nachfolgend alle zusammengesetzten Zahlen zwischen 1 und 16:

4 6 8 9 10 12 14 15 16 …

Beachten Sie, dass...